Андрей Витальевич Коротаев, Артемий Сергеевич Малков, Дарья Андреевна Халтурина

ЗАКОНЫ ИСТОРИИ

К оглавлению

Компактные макромодели эволюции мир-системы

А. В. Коротаев, А. С. Малков, Д. А. Халтурина

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЦЕНТР ЦИВИЛИЗАЦИОННЫХ И РЕГИОНАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ РАН

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ РАН

им. М. В. Келдыша

Москва 2004

Предисловие

Как легко понять хотя бы из названия данной монографии, ее авторы предполагают, что среди ее читателей могут оказаться и историки. Авторы этой книги постоянно общаются с историками, а один из них и сам является профессиональным историком, поэтому они отдают себе отчет в том, что математическое образование заметной части историков не вполне глубоко. Мы неоднократно сталкивались с тем, что, когда мы спрашивали у высокопрофессиональных историков их мнение о некоторых книгах, использующих инструментарий математики для моделирования исторических процессов, мы получали ответы типа: "Да, я начал читать эту книгу, но потом пошли какие-то формулы, я перестал что бы то ни было понимать, и не стал ее дальше читать". Поэтому мы вполне отдаем себе отчет в том, что и эту книгу рискует постигнуть такая же судьба. Поэтому мы постарались сделать ее доступной и для тех, кто никакого математического образования не имеет, давая все необходимые пояснения всякий раз, когда мы вводим неизвестные широкому кругу читателей математические понятия или методики. Поэтому мы рекомендовали бы тем из наших читателей, которые не уверены в своей математической подготовке, не пробовать читать эту книгу с середины, а читать ее подряд, начиная с первой страницы, не пропуская тех пояснений, которые выделены курсивом, и в которых содержатся все необходимые разъяснения. Вы увидите, что прикладная математика "для пользователя" не так уж и сложна, и вполне доступна для понимания тех, кто специального математического образования не имеет. С другой стороны, мы не рекомендовали бы читать те же самые выделенные курсивом пояснения тем, кто математическое образование имеет, ибо в них они вряд ли найдут для себя что-то новое.

Содержание

Предисловие. 3

Введение. 6

Глава 1. Демографическая динамика мира после 1989 г.: некоторые наблюдения. 12

Глава 2. Демографическая динамика мира до 1962 г. 23

Глава 3. Компактная математическая макромодель роста населения мира (до 1962 г.) 28

Глава 4. Компактная математическая макромодель технико-экономического и демографического роста мир-системы (до 1962 г.) 40

Глава 5. Расширенная математическая макромодель технико-экономического, культурного и демографического роста мир-системы.. 43

Глава 6. Расширенная макромодель и механизмы демографического перехода. 53

Глава 7. Законы мировой динамики как законы динамики мир-системы.. 72

Глава 8. Что мы понимаем под уровнем технологического развития?. 77

Глава 9. Микроуровневый хаос и высокодетерминированная макроуровневая динамика. 88

Заключение. 99

Приложение 1. Прогноз роста населения мира (2004–2050 гг.) 101

Приложение 2. Относительные темпы роста населения мира и женская грамотность в последнем десятилетии ХХ в.: некоторые наблюдения. 105

Библиография. 108

Введение[1]

В 1950–2003 гг. рост населения мира имел следующий вид (см. Диаграмму 1[2]):

Диаграмма 1.            Рост населения мира, 1950–2003 гг. (в миллионах)

            Хотя, на первый взгляд, рост населения мира в 1950–2003 гг. выглядит вполне линейным, даже самый простой анализ динамики изменения годовых темпов роста населения показывает, что мы в реальности имеем дело с очень сложной и интересной ситуацией (см. Таблицу 1 и Диаграмму 2):

Таблица 1.     Динамика роста населения мира, 1950–2003 гг.

Диаграмма 2.            Динамика изменения относительных темпов

роста населения мира, 1950–2003 гг. (%)

Как мы видим, до 1962 г. наблюдалось достаточно быстрое ускорение темпов роста населения мира. Однако после 1963 г. мы уже имеем дело с прямо противоположным трендом – годовые темпы роста населения мира начинают достаточно быстро и устойчиво снижаться. Эта смена трендов будет выглядеть особенно драматично, если мы возьмем данные не за последние полвека, а за последние две тысячи лет[3] (см. Диаграмму 3):

Диаграмма 3.            Динамика изменения относительных темпов

роста населения мира, 1–2003 гг. н.э. (%)

Глава 1. Демографическая динамика мира после 1989 г.: некоторые наблюдения

Собственно говоря, в 1990–2003 гг. мы имеем дело с исключительно сильной отрицательной корреляцией между численностью населения мира и относительными темпами его роста (см. Диаграмму 4):

Диаграмма 4.            Корреляция между численностью

и годовыми темпами роста населения мира,

1990–2003 гг.

Корреляционный и регрессионный анализ рассматриваемых рядов данных дает следующие результаты (см. Табл. 2a и 2b):

Таблица 2.     Корреляция между численностью

и годовыми темпами роста населения мира,

1990–2003 гг.

a. Корреляционный анализ:

ПОЯСНЕНИЯ К ТАБЛИЦЕ 2а. Мы отдаем себе отчет в том, что многим читателям цифры, приводимые в нижеследующей таблице, могут ничего не говорить. Однако это не так уж страшно. Рискнем утверждать, что прикладная математическая статистика "для пользователя" не так уж сложна. Для того, чтобы эта книга могла быть по-настоящему полезна в том числе и читателю, не имеющими математического образования, сделаем необходимые пояснения. Приводимые в данной таблице числа характеризуют корреляцию между рассматриваемыми величинами. Корреляция (зависимость) между двумя показателями обычно характеризуется двумя показателями. Первый из них характеризует силу связи между признаками. Чаще всего (в зависимости от типа данных) используются коэффициент корреляции Пирсона, обозначаемый обычно строчной латинской буквой r, и коэффициент ранговой корреляции Спирмена, обозначаемый греческой буквой ρ (в англоязычной литературе часто используется название этой буквы в латинской графике – Rho или Spearman's Rho). Такие коэффициенты принимают значения от – 1,0 до + 1,0. Значение + 1,0 означает полную ("функциональную") положительную связь между признаками. Если между признаками существует причинно-следственная связь, это будет значить, что увеличение значения величины х приводит к однозначно определенному увеличению значения величины у. Значение – 1,0 означает полную ("функциональную") отрицательную связь между признаками. Если между признаками существует причинно-следственная связь, это будет значить, что увеличение значения величины А приводит к однозначно определенному УМЕНЬШЕНИЮ значения величины Б. Как можно видеть, коэффициент корреляции в нашем случае имеет отрицательное значение, т.е. корреляция у нас как раз отрицательная (то есть увеличение значения одной величины у нас сопровождается уменьшением значения другой). При положительной корреляции рост значения одной величины будет сопровождаться и ростом значения другой величины. Для того, чтобы понять "рациональный смысл" коэффициента корреляции рекомендуется возвести его в квадрат. Полученное число легче всего интерпретировать, если между анализируемыми показателями существует причинно-следственная связь (что наблюдается, конечно же, далеко не всегда). В этом случае, например, r² = 0,5² = 0,25 будет говорить о том, что показатель х детерминирует динамику показателя у на 25%. В нашем случае, нет оснований говорить о причинно-следственной зависимости между признаками. В подобных случаях, коэффициент корреляции более правильно интерпретировать как количественный показатель того, насколько достоверную информацию о значении показателя у мы будем иметь, зная значение показателя х (соответственно, если r [а значит и r²] равно 0, это будет говорить о том, что знание значения показателя х не дает нам никакой информации ["предикции"] о значении показателя у; а если r [а значит и r²] равно 1, это будет говорить о том, что, зная значение показателя х, мы будем абсолютно достоверно знать и значение показателя у. А динамику величину х в таких случаях будет правильно обозначать не как фактор изменения величины у, а как ее "предиктор". Обычно в матстатистике корреляция считается сильной, если она характеризуется коэффициентом более 0,7, средней – при коэффициенте между 0,5 и 0,7 и слабой, если он меньше 0,5. Рассматриваемая нами корреляция, однако, охарактеризована выше еще одной величиной (α = 0,000 000 000 000 01). Это показатель статистической значимости корреляции. В англоязычной научной литературе для его обозначения чаще используется строчная латинская буква p (по первой букве слова probability, "вероятность"). Каков смысл этой величины? Какой смысл имеет, скажем, утверждение, что, например, статистическая значимость некой корреляции равна 0,01 (или, что эта корреляция значима на уровне 0,01)? Это значит, что вероятность того, что подобная корреляция могла появиться в результате случайности, при отсутствии реальной закономерной связи между признаками равна 0,01, т.е. есть один шанс из ста, что наблюдаемая корреляция является результатом случайности. Понятно, что вероятность эта довольно низка, так что обычно в таком случае гипотеза о наличии связи между признаками будет считаться нашедшей подтверждение. Исторически сложилось, что в качестве порогового уровня статистической значимости принимается 0,05 (~ 5% ~ 1 шанс из двадцати). Т.е., если мы получили показатель значимости менее 0,05, то соответствующая гипотеза считается успешно прошедшей статистическую проверку, если же этот показатель более 0,05, то соответствующая гипотеза считается неподтвержденной. Подчеркнем, что никакого рационального основания эта конвенция не имеет. Речь идет именно об исторически сложившейся в академическом сообществе научной практике. Применяемый в настоящее время способ оценки статистической значимости корреляций не является единственно возможным и создает заметные трудности для восприятия у людей, начинающих осваивать прикладную матстатистику. Действительно, с трудом воспринимается то обстоятельство, что чем МЕНЬШЕ значение α, тем ВЫШЕ статистическая значимость связи; что α = 0,000001 является индикатором высочайшей статистической значимости связи, α = 0,8 наоборот говорит о предельно низкой статистической значимости (собственно говоря, о том, что корреляция здесь не является статистически значимой). Однако ничего уже здесь не поделаешь. И с этой академической конвенцией нам придется считаться. Необходимо подчеркнуть, что связь между силой корреляции и статистической значимостью корреляции достаточно сложная. Речь идет о достаточно самостоятельных величинах. Корреляция может быть сильной, и вместе с тем иметь крайне низкую статистическую значимость. И наоборот, она может быть крайне слабой и иметь вместе с тем высочайшую статистическую значимость. В случае с табл. 2а мы имеем дело с корреляцией высочайшего уровня статистической значимости (α = 0,000 000 000 000 04). Т.е. имеется лишь четыре шанса из СТА ТРИЛЛИОНОВ, что наблюдаемая корреляция является результатом случайности, а закономерная связь между двумя рассматриваемыми переменными отсутствует. А значит, можно совершенно уверенно говорить о существовании закономерной связи между двумя данными признаками. Отметим, что обычно при значении показателя статистически значимой ниже 0,0001 (а иногда даже 0,001) точное число не указывается, т.е. нередко ограничиваются указаниями типа α < 0,001 или α < 0,0001, так как считается, что в таких случаях речь идет о заведомо статистически достоверной связи и бóльшая точность здесь уже не нужна. Наконец, поясним, что корреляция между значениями, предсказанными моделью, и актуально наблюдаемыми данными, обычно измеряется при помощи коэффициента корреляции R, который принимает значения от 0 (полное несоответствие) до 1 (полное соответствие), и который еще неоднократно встретится нам на страницах этой книги.

b. Регрессионный анализ

R = 0,996, R² = 0,993

ПОЯСНЕНИЯ К ТАБЛИЦЕ 2b. При внимательном изучении Табл. 2b в ней нетрудно заметить два числа, которые нам уже попадались в Табл. 2а. Действительно, значение стандартизированного β-коэффициента здесь совпадает со значением коэффициента корреляции Пирсона в Табл. 2а; полностью совпадают для обоих коэффициентов и показатели статистической значимости. Таким образом, регрессионный анализ позволяет нам установить все основные показатели корреляции между рассматриваемыми переменными. Однако регрессионный анализ дает нам и другую важную информацию. Строго говоря, в таблице приводятся данные линейного регрессионного анализа, который наряду с прочим используется для проверки гипотезы о наличии между соответствующими переменными простой линейной зависимости, имеющей вид Y = a + bX. Однако линейный регрессионный анализ позволяет не только установить сам факт наличия между признаками прямолинейной зависимости, но и выяснить основные характеристики этой зависимости. В качестве этих характеристик выступают константа а и коэффициент b. Первое число в строке "Константа" и дает нам значение константы а (3,903). В качестве независимой переменной (т.е. переменной Х) в нашем регрессионном анализе выступает численность населения мира. Соответственно, первое число в строке "Население мира (в миллиардах)" и будет представлять значение коэффициента b (-0,4407). Можно сказать, что то, что этот коэффициент имеет данную величину означает, что на рассматриваемом нами временном отрезке увеличение населения мира на миллиард человек сопровождалось уменьшением относительных темпов роста населения мира на 0,4407%. Таким образом, мы получаем уравнение связи между численностью населения мира и относительными темпами его роста для периода 1990–2003 гг. В качестве "зависимой переменной" (Y) у нас выступает относительная годовая скорость населения мира (в %%), в качестве "независимой" (Х) – численность населения мира в миллиардах. Обозначим эти величины соответственно как V и N. Теперь возьмем базовую формулу линейной зависимости Y = a + bX, подставим туда V (относительные темпы роста населения мира в %%) вместо Y, и вместо Х поставим N (т.е. численность населения мира в миллиардах). Мы уже установили, что константа а в этом уравнении будет равна 3,903 (%), а коэффициент b будет иметь значение -0,4407. В итоге мы получаем уравнение V = 3,903 – 0,4407N. Отметим, что данное уравнение уже представляет собой математическую модель мировой демографической макродинамики, при помощи которой мы уже можем даже прогнозировать рост населения мира в будущем. Для этого надо подставить в эту формулу население на этот год, и мы сразу получим предикцию, насколько население мира вырастет в следующем году. Таким образом, мы предположительно узнаем и какой будет через год численность населения мира. Подставив в формулу полученное значение численности населения мира в следующем году, мы сможем предположительно узнать, насколько оно вырастет через два года, и т.д. Таким образом, мы сможем сделать предикцию, и каким населения мира будет и через 50 лет, и через 100. Другой вопрос, конечно, насколько точной будет такая предикция. И еще одно замечание. Как мы видим, в рассмотренном нами случае корреляционный анализ не дает нам никакой полезной информации, которую мы бы не получили в процессе регрессионного анализа, а регрессионный анализ дает нам наряду с информацией, получаемой в процессе простого корреляционного анализа, еще и важную дополнительную информацию. Поэтому ниже в случаях, аналогичных рассмотренному выше, мы будем приводить данные лишь регрессионного анализа. Собственно говоря, данные простого корреляционного анализа были выше приведены нами лишь для того, что объяснить читателям, не имеющим математического образования, что такое корреляция, какие характеристики она имеет, и при помощи каких математических символов эти характеристики обозначаются, так как соответствующие понятия и символы будут неоднократно встречаться читателям на страницах этой книги.

Конечно же, проведенный анализ заставляет предполагать, что 99,3% всей мировой макродемографической вариации в 1990–2003 гг. описывается при помощи следующего предельно простого уравнения:

V = 3,9 – 0,4407N                                               (1)[4]

где N – население мира (в миллиардах чел.), а V – относительная годовая скорость роста населения мира (в %%).[5]

            Естественно, это позволяет оценивать будущую динамику народонаселения мира (при условия сохранения наблюдаемого в последнее время пэттерна соотношений между N и V) при помощи следующего разностного уравнения (Модель 1):

Модель 1

N_i+1 = N_i (1 + [3,9 – 0,4407N_i]/100)                                  (2)

где N_i – население мира (в миллиардах чел.) в году i, а N_i+1 – численность, которой население мира достигнет через год.

ПОЯСНЕНИЯ К МОДЕЛИ 1: Поясним, как из уравнения (1), т.е. V = 3,9 – 0,4407N, было получено уравнение (2), т.е. N_i+1 = N_i (1 + [3,9 – 0,4407N_i]/100). Допустим, нам известно, что численность населения мира в этом году равняется N_i, а относительная скорость роста населения мира в следующем году составит V%. Как на основании этих данных вычислить, какой численности население мира достигнет в следующем году. Ясно, что надо взять численность населения мира в этом году, т.е. N_i, умножить на тот процент, на который оно должно вырасти в следующем году, т.е. на V, и поделить полученное число на 100. Т.е. ожидаемый прирост населения в следующем году составит N_iV/100. Теперь ожидаемый прирост населения за следующий год сложим с численностью населения мира в этом году. Таким образом, численность населения мира (N_i+1) в следующем году окажется равной N_i + N_iV/100. Таким образом, мы получаем следующее уравнение: N_i+1 = N_i + N_iV/100. Теперь вынесем N_i за скобки и получим:
N_i+1 = N_i(1 + V/100). Теперь для того, чтобы, зная численность населения мира в этом году, мы могли бы предположительно подсчитать, каким население мира станет в следующем году, нам осталось установить, какой будет относительная годовая скорость роста населения мира в следующем году. Мы можем сделать это при помощи уравнения (1), т.е.
V = 3,9 – 0,4407N. При помощи этого уравнения, как мы помним, зная, какова численность населения мира в этом году, мы как раз можем вычислить, на сколько процентов она вырастет в следующем году. Допустим, в этом году численность населения мира равна N_i. Соответственно, в следующем году она вырастет на (3,9 – 0,4407N_i)%. Теперь осталось подставить это выражение на место V в уравнение
N_i+1 = N_i(1 + V/100) и мы получим разностное уравнение (2):
N_i+1 = N_i (1 + [3,9 – 0,4407N_i]/100). Конечно же, это уравнение позволяет, зная значение N_i установить (с достаточно небольшой погрешностью) значение N_i+1 только для 1990–2003 гг. Неизбежно возникает вопрос, насколько оправданно использование этого уравнения для прогнозирования численности населения мира в последующие годы. Заметная часть этой книги и посвящена ответу на этот вопрос.

Результаты соответствующей компьютерной симуляции с началом в 2003 г. и стартовым значением N = 6.305.144.680 выглядят следующим образом (см. Табл. 3 и Диаграмму 5):

Таблица 3.     Прогноз численности населения мира (в миллионах),

оценки, сгенерированные компьютерной симуляцией

с использованием Модели 1

Диаграмма 5.            Население мира (в миллионах) в 1950–2003 гг.,

с экстраполяцией динамического тренда

1990–2003 гг. до 2150 г.

Насколько вероятно, что реальный рост населения мира будет идти по данному пэттерну? Как мы увидим ниже, имеются вполне серьезные теоретические и эмпирические основания утверждать, что подобное развитие событие не может рассматриваться как совершенно невероятное.

Глава 2. Демографическая динамика мира до 1962 г.

Начнем с того, что очень сильная линейная корреляция между численностью и относительными темпами роста населения мира, которую мы наблюдаем для 1990–2003 гг., ни в коей степени не является явлением, уникальным для демографической истории мира. Собственно говоря, данный пэттерн являлся преобладающим на протяжении большей части этой истории (см., например: Капица 1992, 1999; Kremer 1993). Например, для 1650–1960 гг. данная корреляция выглядит следующим образом (см. Табл. 4 и Диаграмму 6):

Таблица 4.     Демографическая макродинамика мира, 1650–1970 гг.

ПРИМЕЧАНИЕ: Оценки М. Кремера (Kremer 1993: 683).

Диаграмма 6.            Корреляция между численностью

и годовыми темпами роста населения мира,

1650–1970 гг.

Регрессионный анализ базы данных Кремера на 1650–1970 гг. дает следующие результаты (см. Табл. 5):

Таблица 5.     Корреляция между численностью

и годовыми темпами роста населения мира,

1650–1970 гг. (регрессионный анализ)

R = 0,967, R² = 0,936, (для 1900-1970 гг. R = 0,981, R² = 0,962)

Данный регрессионный анализ, естественно, показывает, что 93,6% всей мировой макродемографической вариации за 1650–1970 гг. описывается следующим предельно простым уравнением (Модель 2):

V = 0,691N – 0,172

где N – население мира (в миллиардах чел.), а V – относительная годовая скорость роста населения мира (в %%).[6]

            С другой стороны, 96,2 % всей мировой макродемографической вариации за 1900–1970 гг. описывается Моделью 3, полученной при помощи аналогичного регрессионного анализа данных за соответствующий период:

V = 0,922N – 0,709

            Таким образом, очень сильная и достаточно единообразная линейная зависимость между численностью народонаселения мира и относительными годовыми темпами его прироста наблюдается на протяжении десятилетий, веков и даже тысячелетий.

Объединяя нашу экстраполяцию пэттерна роста населения мира, засвидетельствованного в 1990–2003 гг., с данными по численности населения мира за 500 г. до н.э. – 2003 г. н.э. (Kremer 1993; US Bureau of the Census 2004),[7] мы получаем следующую картину (см. Диаграмму 7):

Диаграмма 7.            Рост численности населения мира,

500 г. до н.э. – 2300 г. н.э., в миллионах

Собственно говоря, существует лишь одно действительно значимое различие между пэттернами роста народонаселения мира в 1990–2003 гг., с одной стороны, и в период до 1962–1963 гг., с другой. В 1990–2003 гг. мы имеем дело с исключительно сильной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ корреляцией между численностью населения мира и относительными годовыми темпами его роста. В период до 1962–1963 гг. мы также сталкиваемся с очень сильной корреляцией между двумя интересующими нас переменными. Но корреляция эта – ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ.

Это, естественно, означает, что долгосрочная тенденция роста народонаселения мира в период до 1962–1963 гг. была ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ.

Глава 3. Компактная математическая макромодель роста населения мира (до 1962 г.)

Гиперболический рост населения подразумевает, что абсолютный прирост населения (N человек в год) пропорционален квадрату численности населения (в отличие от экспоненциального роста, при котором абсолютный прирост населения линейно пропорционален его численности). Так, если при экспоненциальном росте при численности населения в 100 миллионов чел. наблюдался абсолютный прирост в 100 тысяч человек в год, на уровне в 1 миллиард чел. он составит 1 миллион чел. в год (т.е. рост населения в 10 раз приводит к увеличению абсолютных темпов его роста в те же 10 раз). Если абсолютный прирост в 100 тысяч человек в год наблюдался при численности населения в 100 миллионов чел. при гиперболическом росте, то на уровне в 1 миллиард чел. абсолютный прирост населения составит уже 10 миллионов человек в год (т.е. рост населения в 10 раз приведет к увеличению абсолютных темпов его прироста в [10х10] 100 раз). Отметим, что при экспоненциальном росте относительные темпы прироста населения (0,1 % в нашем случае) изменяться не будут, в то время как при гиперболическом росте они будут линейно пропорциональны численности населения (в нашем примере рост населения в 10 раз приводит к увеличению относительных годовых темпов прироста населения в те же 10 раз, с 0,1% to 1,0%). Соответственно, тенденция роста населения мира, наблюдавшаяся в 1990–2003 гг. может быть идентифицирована как ОБРАТНАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ.

Тот факт, что для населения мира вплоть до 1960-х гг. был характерен гиперболический рост, был открыт уже достаточно давно (см., например: von Foerster, Mora, and Amiot 1960; von Hoerner 1975; Kremer 1993; Капица 1992, 1999 и т.д.). Было предложено и несколько математических моделей, описывающих этот рост (см., например: Капица 1992, 1999; Kremer 1993 и т.д.). Некоторые из этих моделей вполне компактны (см., например: Капица 1992, 1999), но не вполне объясняют механизмы гиперболического роста; модель М. Кремера содержит такое объяснение, но, на наш взгляд, неоправданно сложна.

            Предлагаемая нами первая компактная макромодель гиперболического роста населения исходит из следующих допущений:

            1) На протяжении большей части существования человечества рост его численности на каждый данный момент времени был ограничен потолком несущей способности земли, обусловленным наблюдаемым в данный момент времени уровнем развития жизнеобеспечивающих технологий (Мальтус 1993 [1798]; Malthus 1798; Habakkuk 1953; Postan 1950, 1972; Braudel 1973; Abel 1974, 1980; Cameron 1989; Artzrouni and Komlos 1985; Kremer 1993; Komlos and Nefedov 2002).

2) Потолок несущей способности Земли повышался в результате роста уровня развития жизнеобеспечивающих технологий. Следовательно, на протяжении большей части существования человечества скорость его роста была прямо пропорциональна темпам роста уровня развития жизнеобеспечивающих технологий.

            3) Относительные темпы роста уровня развития жизнеобеспечивающих технологий прямо пропорциональны численности населения Земли ("Чем больше людей, тем больше изобретателей"; при прочих равных условиях в десять раз большее число людей будет в тенденции делать в десять раз большее число сопоставимого уровня изобретений); при этом абсолютные темпы технологического развития также пропорциональны и самому уровню развития технологий (Kuznets 1960; Boserup 1965; Lee 1986; Grossman and Helpman 1991; Kremer 1993; Aghion and Howitt 1992, 1998; Simon 1977, 1981, 2000; Komlos and Nefedov 2002 и т.д.).

            Самым простым способом математического моделирования данных допущений представляется следующая (и, насколько нам известно, ранее не предлагавшаяся) система из двух дифференциальных уравнений:

dN/dt = a (bK – N) N                                                                                             (1)

dK/dt = cNK                                                                                                          (2)

где N это население Земли, K – уровень технологического развития, bK соответствует потолку несущей способности Земли при данном уровне развития жизнеобеспечивающих технологий.

ПОЯСНЕНИЯ К ПЕРВОЙ КОМПАКТНОЙ МАКРОМОДЕЛИ: Для читателей, не имеющих математического образования, поясним, как работает первая компактная макромодель.[8] Модель записана при помощи дифференциальных уравнений. Начнем с первого уравнения:
dN/dt = a (bK – N) N. Как мы помним, N в нашей модели обозначает численность населения Земли. dN/dt – это изменение численности населения Земли (dN) за предельно краткий промежуток времени dt. Таким образом, рассматриваемое уравнение моделирует скорость изменения численности населения Земли. Реальная компьютерная симуляция долгосрочных исторических процессов обычно осуществляется при помощи разностных уравнений, где моделируется изменение тех или параметров, как правило, за год. Соответственно, в качестве dt берется не предельно краткий, а вполне реальный промежуток времени, 1 год. Таким образом, dN/dt оказывается изменением численности населения за год. Подставив в формулу значения К и N за соответствующий год (i), мы можем узнать как численность населения изменится в следующем году, а сложив dN/dt с численностью населения в этом году (N_i), мы подсчитаем, каким население мира станет к концу следующего года (N_i+1). Таким образом, N_i+1 = N_i + dN/dt. Формула для подсчета dN/dt у нас есть: dN/dt = a (bK – N) N. Таким образом, зная значения N и K за этот год, мы можем подсчитать, каким будет население мира в следующем году (а при помощи второго уравнения модели мы можем подсчитать и какой станет в следующем году несущая способность Земли, K_i+1). Таким образом, мы сделаем первую годичную итерацию, вычислив значения N_i+1 и K_i+1. Теперь, зная значения N_i+1 и K_i+1, мы можем сделать вторую годичную итерацию, и узнать, каким будет население и несущая способность Земли через два года (т.е. подсчитать значения N_i+2 и K_i+2), и т.д. Конечно, делать это лучше не в ручную, а записав в виде компьютерной программы, запуская которую мы сможем осуществлять компьютерную симуляцию долгосрочных процессов эволюции Мир-Системы. Вернемся, однако, к первому уравнению модели:

dN/dt = a (bK – N) N. В правой части уравнения записаны сформулированные выше допущения о факторах определяющих скорость роста населения мира: a(bK – N) N. Начнем с переменной N. Каков смысл ее присутствия в правой части уравнения? Чтобы лучше себе это представить, допустим что остальная часть, a (bK – N), является константой (что наблюдалось бы в том случае, если разрыв между несущей способностью Земли и населением сохранялся бы все время на одном уровне, а, следовательно, население мира росло бы с постоянной относительной скоростью). В этом случае нам следовало бы ждать экспоненциального роста населения, что и отражает присутствие переменной N в правой части уравнения. Его можно интерпретировать следующим образом: при прочих равных условиях [a(bK – N) = const.] абсолютная скорость роста населения (dN/dt) будет прямо пропорционально самой численности населения. За данным обстоятельством стоит тот очевидный факт, что при прочих равных условиях миллион женщин родит детей в приблизительно сто раз больше, чем десять тысяч женщин. Отметим, что при экспоненциальном росте с увеличением численности населения будет увеличиваться только абсолютные темпы роста населения, относительная же скорость роста будет оставаться постоянной. Допустим, что a(bK – N) = 0,01. При населения мира в 10 миллионов человек это будет давать абсолютную скорость роста в 100 тыс. человек в год (10.000.000 х 0,01 = 100.000). При росте населения в десять раз (до ста миллионов человек) в десять раз (до одного миллиона человек в год) вырастет и абсолютная скорость роста населения; его же относительная скорость роста (1% в год) не изменится. Однако ни в реальности, ни в нашей модели a(bK – N) константой не является. Рассмотрим в начале, какой динамика роста населения Земли была бы, если бы К, начиная с какого-то момента оставалась постоянной (т.е., всякий технологический прогресс, ведущий к повышению потолка несущей способности Земли, начиная с какого-то момента полностью прекратился). Значение коэффициента b выберем равным 1, т.е. будем мерить К непосредственно тем числом людей, которое Земля может прокормить при данном уровне технологии. В качестве начального значения численности населения Земли (N₀) возьмем 100 миллионов человек, а в качестве значения несущей способности Земли (К, которая, напомним, в этом примере будет оставаться постоянной) – 200 миллионов человек (а в дальнейшем для упрощения будет производить все расчеты в миллионах человек). Т.е. для начала мы смоделируем следующий сценарий – в начале мы имеем уровень технологического развития, позволяющий прокормить на Земле 200 миллионов человек, при том, что реальная численность народонаселения составляет 100 миллионов человек. Примем значение коэффициента а равным 0,0002 (что, даст нам начальную скорость роста, соответствующую некоторым оценкам максимальной относительной скорости роста доиндустриального населения, 2% в год [Turchin 2003]). На сколько у нас вырастет население мира в первый год симуляции? Посчитаем прирост с использованием формулы dN/dt = a (bK – N) N. Получим 0,0002 х (1 х 200 – 100) х 100 = 0,0002 х 100 х 100 = 0,0002 х 10000 = 2 миллиона человек. Таким образом, в первый год население мира вырастет на 2 миллиона и составит 102 миллиона человек. Но какой будет скорость роста мирового населения, когда его численность достигнет 150 миллионов человек? Используем ту же самую формулу и получим следующий результат: 0,0002 х (1 х 200 – 150) х 150 = 0,0002 х 50 х 150 = 0,0002 х 7500 = 1,5 миллиона человек за год. А каким будет годовой прирост населения, когда его численность составит 190 миллионов? 0,0002 х (1 х 200 – 190) х 190 = 0,0002 х 10 х 190 = 0,0002 х 1900 = 0,38 млн., т.е. 380 тыс. человек в год. Как мы видим, при приближении населения к потолку, несущей способности Земли, темпы его роста все более и более замедляются и при 199 млн. составят уже 0,0002 х (1 х 200 – 199) х 199 = 0,0002 х 1 х 199 = 0,0002 х 199 = 0,0398 млн., т.е. только 39800 человек в год. В целом такая модель будет генерировать вполне определенную динамику, имеющую и свое собственное название, речь идет о логистической динамике (см. Диаграмму 7а):          

Диаграмма 7а.          Динамика, генерируемая

простой логистической моделью

Отметим, что уже эта простая логистическая модель, описывает вполне реальный сценарий демографической динамики, неоднократно наблюдавшийся в истории отдельных регионов, когда рост населения происходил в условиях относительно стабильного уровня развития жизнеобеспечивающих технологий. Например, достаточно близка к подобной динамике демографическая динамика позднеханьского Китая (см. Диаграмму 7б):

Диаграмма 7б.          Демографическая динамика

позднеханьского Китая (57 – 156 гг. н.э.[9])

Неплохо известны и конкретные механизмы, обуславливающие снижение темпов роста населения по мере его приближения к потолку несущей способности земли. Приближение к потолку несущей способности означает снижение производства продовольствия на душу населения. В результате ухудшается качество питания, растет процент хронически недоедающих, заболеваемость, преступность и т.д. Все это влекло за собой увеличение смертности, которое не могло быть компенсировано увеличением рождаемости хотя бы потому, что в аграрных обществах рождаемость и так, как правило, находилась практически на уровне биологически возможного максимума (для соответствующих показателей средней продолжительности жизни). В результате разрыв между рождаемостью и смертностью начинал все больше и больше сокращаться, а, следовательно, темпы роста численности населения начинали все больше и больше стремиться к нулю (см., например: Нефедов 2003; Nefedov 2004). В реальной истории наблюдались и случаи, когда численность населения того или иного региона начинала превышать потолок несущей способности земли (например, в результате деградации или засаливания почв). Первое уравнение макромодели дает вполне реалистическую предикцию того, что будет происходить в таких случаях. Действительно, при bK < N выражение (bK – N) в формуле 1 примет отрицательное значение. Соответственно отрицательное значение примет и все выражение

a (bK – N) N, а значит отрицательным станет и значение dN/dt. Т.е. население начнет сокращаться, пока его численность не придет в соответствие с новым значением потолка несущей способности земли. Таким образом, формулой 1 мы смоделировали основные мальтузианские допущения. К счастью, несущая способность Земли не является константой. За свою историю человечество сделало огромное количество инноваций, повысивших потолок несущей способности Земли на несколько порядков. Это обстоятельство смоделировано нами при помощи второго уравнения. По сути дела оно моделирует допущения, известные в экономической антропологии как "босерупианские" (Boserupian) по имени выдающейся датской исследовательницы Э. Босеруп, в предельно четком виде сформулировавшей данные допущения в опубликованной в 1965 г. монографии The Conditions for Agricultural Growth (Boserup 1965).[10] Э. Босеруп рассматривала свой подход как антимальтузианский. Однако в дальнейшем было показано, что оба подхода вполне совместимы (см., например: Lee 1986; Wood 1998).[11] Каков смысл уравнения dK/dt = cNK? Речь здесь идет о том, что скорость роста жизнеобеспечивающих технологий (dK/dt) пропорциональна, с одной стороны, самому уровню их развития (К), а с другой стороны, численности населения (N, "Чем больше людей, тем больше изобретателей"). Это и есть, на наш взгляд, самый экономный способ математической записи "босерупианского" допущения. Как мы увидим ниже, записанные математически описанным выше образом данные два внешне противоречащие друг другу допущения, "мальтузианское" и "босерупианское" (действительно, одно из них вроде бы утверждает что-то типа "Больше народа – меньше кислорода", а другое скорее чего-то типа "Больше народа – больше кислорода"), неожиданно точно описывают динамику численности населения мира до 1962 г.

Компьютерная симуляция с использованием данной модели (с началом в 500 г. до н.э.)[12] дала следующие результаты (см. Диаграмму 8):

Диаграмма 8.            Динамика роста населения Земли

(500 г. до н.э. – 1962 г. н.э.): наблюдаемые значения

и значения, предсказанные моделью

ПРИМЕЧАНИЕ: сплошная серая линия была сгенерирована моделью; черные маркеры соответствуют оценкам численности населения мира по М. Кремеру (Kremer 1993)[13] для 500 г. до н.э. – 1950 г. н.э. и данным Бюро переписей США (US Bureau of the Census) по населению мира для 1950–1962 гг.

Корреляция между предсказанными и наблюдаемыми значениями для данной симуляции имеет следующие характеристики: R = 0,9983; R² = 0,9966; α << 0,0001.

            Еще более высокая корреляция была получена при компьютерной симуляции с началом в 1650 г. (до 1962 г.)[14]: R = 0,9989; R² = 0,9978; α << 0,0001. Симуляция с началом в 25000 г. до н.э. дала несколько более низкий (но все равно исключительно высокий) уровень корреляции[15]: R = 0,981; R² = 0,962; α << 0,0001.[16]

Отметим , что наряду с прочим данная модель объясняет, почему абсолютная скорость роста населения Земли до 1962 г. в тенденции была пропорциональная численности населения (dN/dt = aN²), что было обнаружено еще С. П. Капицей (1992). Действительно, рост населения мира (N), например, с 10 до 100 миллионов человек подразумевает, что и уровень развития жизнеобеспечивающих технологий (K) вырос приблизительно в десять раз. С другой стороны, десятикратный рост численности населения означает и десятикратный рост числа потенциальных изобретателей, а значит, и десятикратное возрастание относительных темпов технологического роста. Таким образом, абсолютная скорость технологического роста вырастет в 10 x 10 = 100 раз (в соответствии с уравнением (2) макромодели). А так как N стремится к K (в соответствии с уравнением (1) макромодели), мы имеем все основания предполагать, что и абсолютная скрость роста населения мира (dN/dt) в таком случае в тенденции вырастет в 100 раз, то есть будет расти пропорционально квадрату численности населения.

Глава 4. Компактная математическая макромодель технико-экономического и демографического роста мир-системы (до 1962 г.)

Во второй модели ограничение роста населения потолком несущей способности земли задается способом, несколько отличным от использованного в первой макромодели – уровень технологического развития К измеряется через "избыточный" продукт, производимый при данном уровне технологического развития мир-системы на одного человека (К₂). "Избыточный продукт" понимается как разность между актуально произведенным продуктом и продуктом минимально необходимым для простого (с нулевой скоростью роста) воспроизводства населения.

Это позволяет получить компактную макромодель, дающую предикцию динамики как населения мира, так и мирового валового внутреннего продукта (ВВП):

dN/dt = aNK₂                                                                                                  (3)

dK₂/dt = bK₂N                                                                                                (4)

            При этом для подсчета мирового ВВП может быть использовано следующее уравнение:

G = cN + K₂N                                                                                                (5)

где с представляет собой "избыточный" продукт, производимый при данном уровне технологического развития мир-системы на одного человека.

            Компьютерная симуляция с использованием данной модели (с началом в 1800 г.)[17] дала следующие результаты (см. Диаграмму 9):

Диаграмма 9.            Динамика роста мирового ВВП (1800 – 1965 гг.):

наблюдаемые значения

и значения, предсказанные моделью

ПРИМЕЧАНИЕ: сплошная серая линия была сгенерирована моделью; черные маркеры соответствуют оценкам размеров мирового ВВП по А. Мэддисону (Maddison 1995) в миллиардах международных долларов 1990 г. (в ППП).[18]